2025年AP微积分BC考试已经结束，本次北美卷的考卷风格变化较大，整体侧重于考查第十单元，级数部分占比较高。考试整体难度中规中矩，难度系数并不高，虽然对考纲最后两章的内容考查较多，但考生在往年的真题中都可以找到类似的题目。
整体考试难度：AP微积分BC北美卷
本次考试对于完整刷过2015-2019年FRQ题目的同学来说非常友好，而对于着重于刷近几年真题的同学，可能会在极坐标（Polar Coordinates）的部分产生知识盲点。自2019年后，北美FRQ对极坐标考查较少，今年它又重新回到了我们的视野中，考查了一道FRQ。但是整体难度还是照常。对于知识前期的准备，如果在备考阶段能够做对题目的80%，就可以搞定这场考试，顺利拿到五分。
FRQ知识侧重
关于知识点的侧重，考生依然还需要具备一些知识辨析的能力，单纯的记住知识点是没有用的，毕竟数学考试是考查思维的考试。 即便是相似的知识，但依然需要具备完整的知识逻辑和思考逻辑，需要一定的列式和应对变化的能力，本次考试中可能会对同学们产生困扰的两个点：
👉1.极坐标积分问题，这部分内容除了需要掌握基本的求导和求积分公式以外，还需要理解r与距离之间的关系，利用计算器进行最优化问题分析。
👉2.级数，级分作为第十章的内容，很多同学在学习这个章节内容的时候乏力，对于这个章节的内容掌握不够充分，而对于本次考试就容易出现大面积的问题。
FRQ知识点与解题思路
总结而言，本次考试中的FRQ需要一定的数学思维能力，但是要求并不高，接下来老师就带大家看一下FRQ的具体知识点与解题思路。
FRQ 1：
本题主要考查积分导数综合的文字应用题。
👉A问是对积分均值定理的考查，在对应范围内求积分除以区间长度即可获取平均值
👉B问考查瞬时变化速度和平均变化速度的关系，对应区间内求解平均变化速度，利用计算器联立瞬时速度和对应的平均变化速度的数值即可。
👉C问则是极限运算的问题，直接求解时间趋近于无限函数的的数值即可。
👉D问是导数应用求最大值的问题，对给定函数求导，借助计算器画图观察导数图像变化，借助导数图像分辨单调性，由此获得最大值的可能取值点，进行互相的比较，获得最大值。
FRQ 2：
本题考查的是极坐标问题。
👉A问考查的极坐标求导，直接利用r和θ之间的关系求导获得答案。
👉B问考查极坐标求积分，利用极坐标求面积的基础公式计算可获得结果
👉C问考查导数意义问题，需要结合极坐标和直角坐标的转换关系式，求解最大值。
👉D问考查相关变化率问题，已知dθ/dt，通过转换关系求解dr/dt.
FRQ 3：
本题考查导数和积分综合应用。
👉A问考查近似某点导数值，属于导数基础运算问题。
👉B问考查中值定理（IVT），利用题目中给到的已知数值，证明IVT的结论即可。
👉C问给定表格，利用梯形近似的方法，近似求解梯形面积，结合给定函数值罗列表达式即可。
FRQ 4：
本题考查的是变限积分综合应用。
👉A问考定变限积分形态，然后进行直接的求导运算。
👉B问考查利用给定图像和原函数之间的关系，寻找函数的拐点。
👉C问考查变限积分求值问题，利用图像形态，求解在一定范围内容的积分。
👉D问考查导数的意义，主要是对目标函数进行求导，利用导数分析函数的最值问题，并且加以验证。
FRQ 5：
本题考查的是微分方程以及泰勒级数概念。
👉A问考查微分方程导数运算，主要是隐函数二阶导的内容。
👉B问考查微分方程二阶泰勒展开式的内容，主要是利用具体的导数数值带入进行运算。
👉C问考查拉格朗日误差限的内容，求解二阶泰勒展开式的误差问题，利用下一项展开式进行运算。
👉D问考查欧拉法则（Euler's Method），整体考查方式较为常规，直接套公式即可，难度系数不高。
FRQ 6：
本题考查的是级数判敛。
👉A问考查的比值法（Ratio Test），直接借助，计算x的区间范围。
👉B问考查级数求导运算，利用已经给出的级数表达式，推导出对应导数的泰勒展开式，整体运算难度不大。
👉C问和D问考查基本泰勒展开式的使用和推导，同时又结合了等比级数（geometric series），需要认真观察表达式的特点。
MCQ知识点
选择题部分有个别题目要比去年简单，但也有一些多年未曾考到的知识点出现，比如中点黎曼和（Midpoint Riemann Sum），整体中规中矩。
👉Unit 1 ：考查了极限的计算，并结合了Unit 4的洛必达法则（L‘Hospital’s Rule）；还考查了连续性的判定以及间断点的应用
👉Unit 2 ：考查了常规的求导计算以及可导与连续的关系，题目难度不大，但是计算量较之前有所增加，容易出现计算错误。
👉Unit 3 ：链式法则、隐函数求导以及反函数求导这几个主要考点都有涉及到，没有偏题怪题。
👉Unit 4 ：这一单元出现了一道涉及相关变化率的难题，但直线运动部分的考点比较常规。
👉Unit 5 ：这一单元的考点比较多，涉及到函数、一阶导数和二阶导数的各种关系，除了常规求导计算以外，还有和图像相结合的题目。
👉Unit 6 ：黎曼和、变上限积分求导、分部积分、分式拆分法等考点都有问到，而且跨单元的综合知识点比较多
👉Unit 7 ：考点整体难度不大，欧拉法、逻辑斯蒂模型以及利用分离变量法求解微分方程都是平时练习比较常见的题型。
👉Unit 8 ：考查了平均值、利用积分求图形面积和旋转体的体积问题。
👉Unit 9 ：难点出现在极坐标求面积的问题中，如何确定积分限是一个需要仔细思考的点。
👉Unit 10 ：泰勒级数相关的问题要比前几年多，其他题目也考到了收敛区间（Interval of Convergence）、积分法判敛（Integral Test）。
整体而言，2025年北美卷试题考查的难度有所提高，知识点本身的难度并不高，但是在往年真题中，这种考查形式较少，对于知识点理解不够深入的同学难度系数较高。整体的考试BC的考试形式更加多样化，对于知识的综合理解要求不断提高，需要深入学习知识。
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